I Основная программа:
1)Введём два числа в два массива и запишем их длины.
2)Если оба числа положительны, то обратимся к алгоритму II.
3)Если оба числа отрицательные, то выведем знак "-" и обратимся к алгоритму II.
4)Если первое число положительно, а второе отрицательно, то преобразуем  
  второе число к положительному виду и обратимся к алгоритму III.
5)Если первое число отрицательно, а второе положительно, то преобразуем
  первое число к положительному виду и обратимся к алгоритму III.
6)Конец.

II Алгоритм сложения:
1)Переведём массивы из символьного типа в целочисленный.
2)Развернём эти массивы, чтобы было удобней складывать.
3)Найдём максимальную длину результата.
4)Сложим массивы столбиком, соблюдая правила арифметики.
5)Убираем лишние нолики перед числом.
6)Выведем результат с конца.
7)Конец.

III Алгоритм сравнения:
//Если одно из чисел отрицательное, то сложение заменится на вычитание.  
//А для вычитания нужно сначала сравнить эти числа.

1)Сравним длины массивов, если один длиннее другого, то это наибольшее число.
2)Если длина одинаковая, то сравним поразрядно.
3)Если числа окажутся равными (по модулю), то результат вычитания 0.
4)Если первое число больше второго, то обратимся к алгоритму IV.
5)Если второе число больше первого, то выведем  "-" и обратимся к алгоритму IV, поменяв числа местами.
6)Конец.

IV Алгоритм вычитания:
1)Переведём массивы из символьного типа в целочисленный.
2)Развернём эти массивы, чтобы было удобней вычитать.
3)Вычтем массивы столбиком, соблюдая правила арифметики. При этом результат сохраняется в 3 массив.
4)Уберём лишние нули перед числом.
5)Выведем результат с конца.
6)Конец.

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

//Функция сложения (II)
int sum(char num1[100], char num2[100],
  int max_num1, int max_num2)
{

  int  i, k, temp, size,
   int_num1[100], int_num2[100];

  //Обнуляем два целочисленных массива
  for (i = 0; i <= 100; i++)
  {
   int_num1[i] = 0; int_num2[i] = 0;
  }

  //Перводим их элементы из char в int
  for (i = 0; i <= max_num1; i++)
  {
   int_num1[i] = int(num1[i]) - 48;
  }

  for (i = 0; i <= max_num2; i++)
  {
   int_num2[i] = int(num2[i]) - 48;
  }

  //Разворачиваем оба массива для удобства счёта    
  for (i = 0, k = max_num1; i<k; i++, k--)
  {
   temp = int_num1[i];
   int_num1[i] = int_num1[k];
   int_num1[k] = temp;
  }

  for (i = 0, k = max_num2; i<k; i++, k--)
  {
   temp = int_num2[i];
   int_num2[i] = int_num2[k];
   int_num2[k] = temp;
  }

  //Находим максимальную длину результата    
  if (max_num1 > max_num2)
   size = max_num1 + 1;
  else
   size = max_num2 + 1;

  //Считает столбиком  
  for (i = 0; i <= size; i++)
  {
   int_num2[i] += int_num1[i];
   int_num2[i + 1] += (int_num2[i] / 10);
   int_num2[i] %= 10;
  }

  if (int_num2[size] == 0) size--;
  if (int_num2[size] == 0) size--;

  //Вывод результата
  for (i = size; i >= 0; i--)
   printf("%d", int_num2[i]);
  return 0;
}

//Функция вычитания (IV)
int dif(char num1[100], char num2[100], int size,
  int max_num1, int max_num2)
{
  int i, k, temp, rezult[100], int_num1[100], int_num2[100];

  //Обнуляем три целочисленных массива
  for (i = 0; i <= 100; i++)
  {
   int_num1[i] = 0; int_num2[i] = 0; rezult[i] = 0;
  }

  //Перводим элементы из char в int
  for (i = 0; i <= max_num1; i++)
  {
   int_num1[i] = int(num1[i]) - 48;
  }

  for (i = 0; i <= max_num2; i++)
  {
   int_num2[i] = int(num2[i]) - 48;
  }
  //Разворачиваем оба массива для удобства счёта    
  for (i = 0, k = max_num1; i<k; i++, k--)
  {
   temp = int_num1[i];
   int_num1[i] = int_num1[k];
   int_num1[k] = temp;
  }

  for (i = 0, k = max_num2; i<k; i++, k--)
  {
   temp = int_num2[i];
   int_num2[i] = int_num2[k];
   int_num2[k] = temp;
  }

  //Вычитание столбиком  
  for (i = 0; i <= size; i++)
  {
   if (int_num1[i] >= int_num2[i])
    rezult[i] = int_num1[i] - int_num2[i];
   else
   {
    rezult[i] = int_num1[i] + 10 - int_num2[i];
    int_num1[i + 1]--;
   }
  }

  if (rezult[size] == 0) size--;

  //Вывод
  for (i = size; i >= 0; i--)
   printf("%d", rezult[i]);
  return 0;
}

//Функция сравнения чисел (III)
int minus(char num1[100], char num2[100], int max_num1, int max_num2)
{
  int size, i;
  int k = 3; // если к = 3, значит числа одинаковой длинны
  size = max_num1;

  if (max_num1 > max_num2)
  {
   size = max_num1;
   k = 1; // если к = 1, значит первое число длиннее второго
  }
  else

  if (max_num2 > max_num1)
  {
   size = max_num2;
   k = 2; // если к = 2, значит второе число длиннее первого
  }
  else

   // если числа одинаковой длинны, то необходимо сравнить их  
  for (i = 0; i <= size; i++) // поразрядное сравнение весов чисел
  {
   if (num1[i] > num2[i]) // если разряд первого числа больше
   {
    k = 1;
    break;
   }

   if (num2[i] > num1[i]) // если разряд второго числа больше
   {
    k = 2;
    break;
   }
  }

  if (k == 1) dif(num1, num2, size, max_num1, max_num2);
  if (k == 2) { printf("-"); dif(num2, num1, size, max_num2, max_num1); }
  if (k == 3) printf("%d", 0); //Разность одинаковых - 0

}

//Основная программа (I)
int main()
{
  char num1[100], num2[100];
  int  max_num1 = 0, max_num2 = 0, i = -1;

  //Записываес два огромных числа в два символьных массива
  // и сохраняем максимальный индекс
  do
  {
   i++;
   scanf("%c", &num1[i]);
  }  
        while (num1[i] != 10);

  max_num1 = i - 1;

  i = -1;

   

        do
  {
   i++;
   scanf("%c", &num2[i]);
  }
        while (num2[i] != 10);

  max_num2 = i - 1;

  //Если оба числа положительны, то сложим их функцией sum()
  if (num1[0] != '-' && num2[0] != '-')
   sum(num1, num2, max_num1, max_num2);

  //Если отрицательные, то уберём минусы и сложим функцией sum()
  if (num1[0] == '-' && num2[0] == '-')
  {
   num1[0] = 48; num2[0] = 48;
   printf("-");
   sum(num1, num2, max_num1, max_num2);
  }
  //Если первое положительное, а второе отрицательное,
  // то сложим функцией minus  
  if (num1[0] != '-' && num2[0] == '-')
  {
   num2[0] = 48;
   for (i = 1; i <= max_num2; i++) { num2[i - 1] = num2[i]; }
   num2[i] = 48;
   max_num2--;
   minus(num1, num2, max_num1, max_num2);
  }

  //Если первое отрицательное, а второе положительное,
  // то сложим функцией minus  
  if (num1[0] == '-' && num2[0] != '-')
  {
   num1[0] = 48;
   for (i = 1; i <= max_num1; i++) { num1[i - 1] = num1[i]; }
   num1[i] = 48;
   max_num1--;
   minus(num2, num1, max_num2, max_num1);
  }

  _getch();
  return(0);
}