2-ый вариант
1. 15 и 15 неравно, то
2. 7 и 7, если равно, то все
если неравно
3. 3 и 3, если равно, то все
если неравно, то
4. 1 и 1

2. если одна из куч тяжелее, то берем ее и отбираем 14 монет, взвешиваем по 7 и смотрим, если вес равен, то нашли искомую, если что то перевешивает,
то берем более тяжелую и отбираем из нее 6 монет, сравниваем по 3, если равно, то оставшаяся монета искомая, если какая-то кучка перевесила, то берем из нее 2 монеты и сравниваем, если вес равен, то оставшаяся монета искомая, если что то перевесило, то она искомая

исправь
//include "functions.php";
на
include "functions.php";

а вообще даже хорошо разбирающимся прогерам чужой код читать далеко не всегда просто ))

тогда в battle_parser.php //обработку ошибок и обращение к базе пропускаю

for($i=0; $i<count($person); $i++){
echo $person[$i].";"; //";" добавил для разделения строк
}

а в javascript есть аналоги explode и implode
предположим загрузил данные в переменную text, тогда
text.split(';');
//даст тебе массив из строк $person

echo $person[0]; //вывод первой строки
echo $person[1]; //вывод второй строки
ну и т.д.
если все значения вывести, то можно циклом
for($i=0; $i<count($person); $i++){
echo $person[$i];
}

если вывести массив просто для дебага, то
var_dump($person); //выведет полную инфу о массиве

но ты вроде хотел в javascript это дело выводить или уже не требуется?

$sql = "SELECT * FROM `users` WHERE 1 AND `id` IN (SELECT `id` FROM `battles`) "; //пробежит по игрокам, которые есть в таблице battles
$res = mysql_query($sql);
while($row = mysql_fetch_array($res)){
$person[]= "{'hp' : '".$row['hp']."','hp_max' : '".$row['hp_max']."' }"; // ну и так далее по всем полям
}

тогда $person - будет массив с отобранными игроками